“分”的反义字是“和”，是我们熟悉的字。比如：2+3=5，从左往右运算，我们叫求和。那么“分”呢，既然是反义字，就把上面的等式反过来：5=2+3。

把一个对象表示成两个以至更多的对象的和，这个过程叫分析。

通常来说，分析对象应当与被分析对象一致。是数就都是数，是函数就都是函数，是向量就都是向量，是矩阵就都是矩阵。

求和是数学里最基本的运算，减、乘、除是从求和中衍生出来的。而更高级的幂、指、对、三角、微积分等，也是一层一层建立起来的， 最根本的还是这个求和。求和最简单，最容易计算，性质也最简单。所以成了分析的基本出发点。

分析的妙处在于，通过分析可以将较复杂的对象划分为较简单的对象。 比如2和3就比5简单。单独研究2的性质，再单独研究3的性质，再通过简单的求和，就可以把握5的性质。把复杂的东西划分成若干简单对象的和，对各简单对象搞各个击破，再加起来，复杂的东西也就被掌握了。

分析是西方思想中一个根本性的东西。 西方人认为，事物总是有因果的，看到了结果，要分析原因。所谓分析原因，就是找出一堆因素，说明这堆因素合起来导致了结果。 西方人认为，事物总是可以分析的。看到了整体，就要把那些合成这个整体的局部一一分析出来。 现代科学很大一部分就是这么回事。

大学数学里，有很多内容就是在讲分析。数学里的分析还要把含义拓展，就是把一个数学对象合理地表示成若干更简单对象与实数系数之积的和。但微积分和线性代数各有侧重。 微积分研究的是无穷项求和。无穷项之和与有穷项之和是本质不同的。但是无穷项之和是无法运算的，至少不实际。所以要想办法通过一种办法用有穷项之和来近似的代替，这就是逼近。逼近成立的条件是收敛，就是说，只有从一个收敛的无穷项的开头截出一部分来求和，才能被认为是逼近。华人数学家项武义说，微积分就逼近这一板斧，但是无往而不利。

微积分主要研究函数，连续函数的因变量y会由于自变量x的变化而变化。这种变化也是要分析的。当x从x0变成x1时，y是怎样从y0变到y1 的？按照上面的说法，“y的变化（y1-y0)”这一个数学对象，要用一系列比较简单的“变化”相加来表示。数学家找到了一个收敛的“变化”对象的序列，排在头一位的是一个线性的变化量，它的系数就是导数，它本身就是微分dy。数学家又发现，当x的变化量无穷小时，从这个无穷的、收敛的“变化”对象序列中，只要截出第一项，也就是微分dy，就无论如何可以精确描述y的变化了。 曾在一本书上见过这样的说法，泰勒公式是数学分析的顶峰。不知道是不是有道理。我自己觉得是这么回事。 有了泰勒公式，我们可以任意精确地算一个函数在某一点上的值。毕竟只是实数求和嘛。

但是为了表示泰勒公式，我们却用了一个挺复杂的连加代数式。代数式不能象实数那样简单加起来得到一个对象，它只能表示成和的形式。这是我们意识到，在这个连加式中各对象存在某些特别的不同，使它们没法简单地加到一起。 因此我们有必要讨论，把一些性质不同的东西加到一起所形成的这个对象有什么性质。 这就是向量。
 
微积分研究如何把一个对象分解为无穷项同质对象之和，线性代数研究“有限项异质对象之和”这个新对象的性质。一方面，上面说过，微积分到最后还是要化无穷为有穷，化精确为逼近；另一方面，异质对象经过某种处理可以转化为同质对象。比如不同次的幂函数是异质对象，但是一旦代入具体数值则都可以转化为实数，变成了同质对象。因此线性代数研究的问题对微积分很重要。故我认为大学里应先讲线性代数，后讲微积分。

我们的微积分教学，将重点过分倾注在微分和积分的运算上了，其实实践中更为重要的是我们称为“级数”的那部分内容。即研究如何将一个量表达为一个数项级数，如何将一个函数表达为一个函数项级数。

线性代数把异质对象之和（向量）作为研究的基础，研究这些新定义的对象加起来又可以表示什么。其结论是，有限数量的向量连加起来，有可能具有这样的能力，即同维的全部向量都可以表示成这些向量的和。这样的一组具有充分表现能力的向量，是线性无关的向量，组成了一个向量空间，而它们自己构成了这个向量空间里的一组基。

回到分析的概念上，一个向量总可以表示为若干个同阶向量之和，这就是向量的分析。但是并不是所有的这些分析都具有相同的价值。在某种运算中，某种特别的分析能够提供特别优越的性，从而大大简 化运算。比如在大多数情况下，将一个向量表示成一组单位正交基向量的和，就能够在计算中获得特别的便利。 面对某个问题，寻找一个最优越的分析形式，把要研究的对象合理地表示成具有特殊性质的基对象与实数系数之积的和，这是分析的重要步骤，也是成功的关键。在这种表示式中，系数称为坐标。

经典的方法都是以找到一组性质优良的基为开端的，例如：

傅立叶分析以正交函数系为基，因此具有优良性质，自1904年以来取代幂函数系，成为分析主流。

在曲线和曲面拟合中，正交多项式集构成了最佳基函数。 拉格朗日插值多项式具有一个特别的性质，即在本结点上为1，在其他结点上为0。

有限元中的形函数类似拉氏插值多项式。

结构动力学中的主振型迭加法，也是以相互正交的主振型为基，对多质点体系位移进行分析的。

------------------------------------

线性代数中的很多概念跟积分也有相通之处。比如向量的正交与函数的正交，根本就是一回事。这种类比是否可以扩展？也许线性变换与积分变换也有某种可类比性？待考虑。

来自：http://blog.csdn.net/myan/archive/2004/10/24/149824.aspx

评论

#   dreamhead 发表于2004-10-25 09:17:00  IP: 202.118.4.*

学生学得好坏，取决于老师教课的水准，而老师教课的水准取决于对该领域的认知，认知又来源于自己所学和自己所思。 以myan的讨论可以看出，即便没有机会站在课堂上亲自传授这些理念，对该问题的认知也已经超出很多只知其然的“老师”了。

#   PigArk 发表于2004-10-25 09:45:00  IP: 221.232.95.*

大哥，analysis是这个意思吗？呜呜……

#   littlestone 发表于2004-10-25 23:35:00  IP: 220.112.179.*

十分精彩...... 突发奇想,如果有人能把数学的本质/物理的本质/程序设计的本质都抖弄出来再掺合在一起搅拌一下,那一定十分有趣... 唯一的问题是这样的人很难找(嗯,文笔也要有吸引力才行),myan不妨试试?

#   Solstice 发表于2004-10-25 15:58:00  IP: 202.112.93.*

也许线性变换与积分变换也有某种可类比性? 我只知道线性变换与“常系数齐次线性微分方程（组）”可直接类比。积分变换是啥？

#   自然 发表于2004-10-29 12:49:00  IP: 211.96.2.*

有人能把数学的本质/物理的本质/程序设计的本质都抖弄出来再掺合在一起搅拌一下。 实际上已经有人做了，仔细看看我们的前人留下的道家八卦图，仔细理会它，你就会明白很多东西已经被前人指明白了，只是绝大多数人没有能够深入的理解它而已。 多少年后，你会发现，建立整个科学分析理论的那些基本公理（例如两点决定一条直线等），最终会通过复杂的理论分析反证回来，形成一个环。

#   雷公 发表于2004-11-03 14:55:00  IP: 218.5.68.*

线性代数和微积分合在一起才能解决多维空间逐步逼近问题，才能将复杂的现实用数学表现出来（还要加上离散数学的知识）

#   最近比较不烦 发表于2004-11-04 10:48:00  IP: 61.189.157.*

科学的本质就是它的发展史本身。原话记不清了，大概是这个意思。很喜欢这句话。要想明白数学，首先应该看数学史，数学不是天生就有的，是人设计的，同其他东西一样是人制造的，它也会不完美，也会有错，它的精华就是在一次次危机中涌现的思想和方法，无数前人的智慧在这里闪光。如果有兴趣翻看一下西方数学史就会发现，数学早已经被拉下神坛，但也因此获得了新生，抛开了身上的枷锁，可以无拘无束的去发现去创造。理解这些，远比知道几个公式，会算个方程重要。 其实软件也有很相似的地方。就拿设计模式来说，我们现在看到的全是盖好的高楼大厦，窗明几亮，气势磅礴。什么水泥袋，脚手架全都不见了，前人工作过的痕迹全都被撤去了。离开了发展的历史，真的很难明白为什么是这样，而不是那样，而仅仅知道How。 借myan老大的地方，发发牢骚，呵呵。

#   pootow 发表于2004-11-07 21:49:00  IP: 221.232.54.*

看见数学就头晕。哎~ 我还有希望当程序员，分析师吗？

#   zhuam 发表于2004-11-08 11:13:00  IP: 218.106.89.*

学海无崖啊！！！

#   fool guy 发表于2004-11-09 17:24:00  IP: 61.178.108.*

Meng Big Brother: What do you think of which couses about math is very important in the university.Thanks!

#   小雨 发表于2004-11-16 01:39:00  IP: 218.14.47.*

我是个初学者，本来还云里雾里，听君一席话后，大有拨云见日之感

#   飞儿 发表于2004-11-15 23:06:00  IP: 221.137.187.*

这儿不错： http://www.feedsearch.net 搜索Blog、新闻和论坛，很不错！

#   thumb2 发表于2004-11-18 19:34:00  IP: 218.1.127.*

写的不错，其实如果数学老师在讲公式之前先搞清楚讲它是为了什么的话，恐怕大家就不会对数学敬而远之了（我家领导就是如此），不过也是，很多老师自己也不清楚，只当是混饭的工具吧！

#   guo 发表于2004-11-19 21:28:00  IP: 61.179.12.*

我们老师经常说要学好数学来，因为以后编程经常用到数学思想，我想这话是不错的，很多程序员是数学家 出身的！

#   beautyispower 发表于2004-11-23 14:48:00  IP: 218.80.198.*

不要思考这种无聊的问题。语言是人发明的。我们为什么还要问“分析”是什么意思？。。。。。。问前人所谓的“分析”是什么意思还差不多。

#   Lig 发表于2004-11-28 00:01:00  IP: 221.219.185.*

数学的本质是抽象，分析是数学的一种方法，程序也是一种抽象，只不过没有数学那样优美，所以，程序中的分析似乎也不够完美。 人思维的终极目标是模拟，即利用思维模拟真实，从而得出预见，西方的分析与我们祖宗的易经目的是一致的，只不过我们的易经在这个时代实在无法分析抗拒。

#   tboy 发表于2004-12-03 14:43:00  IP: 218.16.114.*

"动作<-->问题的解" 我脑只有这两个思想, 不知道是不是没有上过高中的原因. 最基本的思想推动着我.可现实老是迷惑人.不得不回去想哲学历史. 11122233<--w;/rqxpd-->20041203

#   平峰 发表于2004-12-04 01:12:00  IP: 61.141.167.*

同感:真是痛快 读研究生的时候我才悟到微积分的基础是极限--无限逼近. 还是在一位老师的提示下,恍然大悟. 所以最喜欢级数, 它可把任一个函数表示出来. 级数收敛是在成功在望, 一切尽在掌控中的宣言. 空间上正交表示:那是最一种信息表示的最美妙的方法. 程序设计正交也是同一个道理. 在经典数学/科学辉煌下, 随机现象, 随机过程的研究又再度发力. 我们不再拘泥于形式化定义空间, 而只给一个参考点. 类似于爱因期坦的相对论. 数学分析方法几乎形而上的给出了问题分析方法. 联想到程序设计无非将问题分析清楚后用形式语言加以表达. 当然人的思想都是迭代的, 总是一边表达一边分析. 那么用C++语言就是像似是级数表示函数, 表达问题可能比较吃力. 但一定可以解出, 大不了, 自己编写大量的类库. 用C#+.net, SQL这类语言与FRAMEWORK设计起来就高效多了, 那是因为你在一个很正交的环境下.

#   tinyfool 发表于2004-12-07 15:03:00  IP: 219.238.144.*

头大，这下子知道大学数学没有学好的坏处了。。。。。。

#   Royal 发表于2004-12-21 16:26:00  IP: 221.6.19.*

读来很过瘾:) > 多少年后，你会发现，建立整个科学分析理论的那些基本公理（例如两点决定一条直线等），最终会通过复杂的理论分析反证回来，形成一个环。 思维碰撞的火花:) 不过可能要等到海枯石烂才会形成这个环:)

#   yjgx007 发表于2004-12-25 22:43:00  IP: 61.49.180.*

西方人的逻辑分析和中国传统的经验性思维差异导致了在科技，文化，教育等诸多领域的差异，数学是侧重于逻辑分析的一门学科，但是切不可把逻辑分析看成是万能的，逻辑分析只是一种工具，如果不这么看，将可能会导致思维陷入僵化和停滞！

#   virushuo 发表于2004-12-29 15:45:00  IP: 211.101.189.*

才刚看到.实在太棒了!期待续集。

#   bonycamel 发表于2004-12-29 15:54:00  IP: 211.101.189.*

这篇写的精彩，只是一般的程序员可能对之不敢兴趣。

#   clin003 发表于2005-01-03 21:59:00  IP: 211.67.190.*

正在学习中……

#   一凡 发表于2005-01-11 12:09:00  IP: 211.100.22.*

这些都是“经典数学”里的内容，不知道“现代数学”都讲些什么。 “现代数学”似乎就是站在更高的层次上看这些本质的内容。

#   caihk 发表于2005-01-15 19:45:00  IP: 219.138.57.*

这篇文章实在是太精彩了。 数学分析揭示了数学的有限与无限的联系。这个联系就是级数的收敛。 其实，数学分析研究的对象是无穷小。只有存在无穷小，级数才有可能收敛于一个确定的实数。 线性代数严格来说与数学分析不同。他研究的向量空间。至于向量空间采用什么坐标是不重要的。只有一个限定条件，向量坐标必须正交。 线性代数研究不涉及到无穷小的问题。实质上是三维欧氏几何的解析化表现。进而推广到无穷维。因此，线性代数与数学分析的研究思路是截然不同的。 至于傅立叶分析本来就属于数学分析的内容，其实质就是通过正交函数系来描述一个复杂的函数。 而线性代数也需要通过正交化解决高维向量向三维向量的简化。实质是解决问题的复杂度。 因此，掌握数学分析和线性代数一定要理解无穷小分析和正交两个重要概念。否则是不可能理解分析的本质的。 微积分和高维空间的结合终于诞生了流型上的微积分。在这里，线性代数和微积分才有更紧密的联系。 大学教育中对于微积分偏重于计算是可以理解的。毕竟微积分作为工程应用的工具，首先是解决工程实际问题。物理解题使用微积分主要是建模问题。如何用数学语言描述微积分。至于微积分本身的意义，只是为了向更深入领域的学习打好基础罢了。

#   阿毛 发表于2005-05-01 01:43:00  IP: 221.236.191.*

太精彩了，高数学了几年，公式死背一大车，都没有这篇文章来的恍然大悟，谢谢楼主和楼上几位

#   阿毛 发表于2005-05-01 02:03:00  IP: 221.236.191.*

发个站点，里面的文章有异曲同工之妙 http://episte.math.ntu.edu.tw

#   xujian 发表于2005-05-22 17:00:00  IP: 61.186.252.*

good

#   kangtian0 发表于2005-06-22 09:29:00  IP: 61.186.252.*

计算机专业人没有数学一样严密的逻辑思维还是有缺陷的！ 因为计算机就是数学的一个分支！

#   penglx 发表于2005-07-15 11:02:00  IP: 61.186.252.*

要很真诚的称你为老师，一位我深深敬佩的老师。

#   nhsoft 发表于2006-01-31 01:15:00  IP: 203.86.66.*

用线性代数中向量空间概念来研究函数的人早就有了.经典的著名人物就是Heilbert, 那个希尔波特空间来研究积分变换, 基本上和向量空间的坐标没什么区别...

#   大风起兮 发表于2006-08-13 03:49:00  IP: 219.82.162.*

myan老师，能否着重讲解泰勒公司和付立叶级数之间的前因后果，我大学里就是一直困惑在这个地方，从此高数再也没有学习的兴趣了，我一定要把这两个东西懂明白

分类： 程序员数学 算法艺术